En mecánica cuántica, la relación de indeterminación de Heisenberg o principio de incertidumbre establece el límite más allá del cual los conceptos de la física clásica no pueden ser empleados. Sucintamente, afirma que no se puede determinar, en términos de la física clásica, simultáneamente y con precisión arbitraria, ciertos pares de variables físicas, como son, por ejemplo, la posición y el momento lineal (cantidad de movimiento) de un objeto dado. En otras palabras, cuanta mayor certeza se busca en determinar la posición de una partícula, menos se conoce su cantidad de movimiento lineal y, por tanto, su velocidad. Esto implica que las partículas, en su movimiento, no tienen asociada una trayectoria definida como lo tienen en la física newtoniana. Este principio fue enunciado por Werner Heisenberg en 1927.
Si se preparan varias copias idénticas de un sistema en un estado determinado, como puede ser un átomo, las medidas de la posición y de la cantidad de movimiento variarán de acuerdo con una cierta distribución de probabilidad característica del estado cuántico del sistema. Las medidas del objeto observable sufrirán desviación estándar Δx de la posición y el momento Δp.
Verifican entonces el principio de indeterminación que se expresa matemáticamente como:
donde la h es la constante de Planck
para simplificar, suele escribirse como
El valor conocido de la constante de Planck es:
En la física de sistemas clásicos esta indeterminación de la posición-momento no se manifiesta puesto que se aplica a estados cuánticos del átomo y h es extremadamente pequeño. Una de las formas alternativas del principio de indeterminación más conocida es la indeterminación tiempo-energía que puede escribirse como:
Esta forma es la que se utiliza en mecánica cuántica para explorar las consecuencias de la formación de partículas virtuales, utilizadas para estudiar los estados intermedios de una interacción. Esta forma del principio de indeterminación es también la utilizada para estudiar el concepto de energía del vacío.
Demostración
Para probar el principio de indeterminación de Heisenberg supongamos dos observables A y B cualesquiera y supongamos un estado tal que:
En esa situación puede demostrarse que:
Donde
la "incertidumbre" medida como desviación estándar del valor de una medida sobre el estado
el conmutador de ambos observables.
Definiendo a partir de y , los operadores autoadjuntos:
Se puede construir la función real:
Y desarrollando el producto escalar anterior:
Teniendo en cuenta que:
La ecuación 2 puede ser reescrita como:
Como
es un operador hermítico los coeficientes de la función polinómica anterior son reales, y como la expresión anterior es real para todo valor de longitud de onda, necesariamente el discriminante del polinomio asociado debe ser negativo:
Reordenando y obteniendo raíces cuadradas en la ecuación anterior se obtiene precisamente la ecuación (). Si se particulariza la ecuación () tomando :
principio de incertidumbre.
